高校生向け大学数学｜線形代数・微積分ゼミ

高校数学の先にある、本格的な大学数学を学びます

高校数学では、公式や解法を用いて問題を解くことが中心になります。

一方、大学数学では、

・そもそも数学的な概念をどのように定義するのか
・定義からどのように定理を証明するのか
・教科書で省略された計算や論理をどのように補うのか
・具体的な問題の背後にどのような共通構造があるのか

を考えることが重要になります。

このコースでは、線形代数・微分積分などの大学数学を、理学部数学科で行われる輪読ゼミに近い形式で学びます。

高校数学では物足りない方、将来数学科や理工系学部で本格的に数学を学びたい方、自分で数学書を読めるようになりたい方におすすめです。

大学入試の得点だけを目的とした講座ではありません。

教科書を自分で読み、行間を埋め、内容を他者に説明し、さらに命題の拡張や新しい問題を考える力を養います。

授業の進め方

受講者には、授業前に指定された教科書の範囲を読み、授業で説明するためのノートを作成していただきます。

教科書の文章や数式をそのまま写すのではなく、

・省略されている計算を補う
・証明の論理的なつながりを確認する
・なぜその式や主張が成り立つのかを説明する
・定義や定理が使われている箇所を明確にする
・必要に応じて具体例や反例を考える

など、教科書の行間をできる限り埋めた状態で準備します。

授業では、準備してきたノートをもとに、受講者自身に教科書の内容を説明していただきます。

講師は説明を聞きながら、

・論理が飛躍している箇所
・説明や計算が不足している箇所
・定義の理解が曖昧な箇所
・より正確な数学的表現が必要な箇所
・理解を深めるために重要な具体例や反例

を指摘し、必要な補足を行います。

講師が最初から完成した内容を一方的に解説するのではなく、受講者が自分で教科書を読み、考え、説明することを中心とした授業です。

もちろん、大学数学を初めて学ぶ高校生に、最初から難しい教科書をすべて一人で読ませるわけではありません。

高校数学とのつながりを説明しながら、無理のない短い範囲から始めます。教科書の読み方や発表用ノートの作り方についても、授業内で具体的に指導します。

高校数学から大学数学へ

高校数学と大学数学は、完全に別のものではありません。

例えば、

・高校で学ぶベクトルから、大学のベクトル空間へ
・連立方程式から、行列と線形写像へ
・数列の極限から、極限の厳密な定義へ
・微分の計算から、連続性や微分可能性の証明へ
・積分の計算から、積分をどのように定義するかという問題へ

と発展していきます。

このコースでは、高校数学で既に知っている具体的な計算や図形を出発点として、少しずつ抽象的な大学数学へ進みます。

単に大学の内容を早く先取りするのではなく、高校数学と大学数学のつながりを理解することを大切にします。

教科書の内容から、さらに先へ進むこともあります

教科書に書かれている内容を正確に理解するだけでなく、時間や理解度に応じて、そこから生まれる発展的な問いも一緒に考えます。

例えば、

・命題の仮定を弱めても結論は成り立つか
・より一般的な状況に拡張できるか
・逆の主張は成り立つか
・条件を一つ外すと、どのような反例があるか
・具体的な場合にはどのように計算できるか
・高校数学の方法でも証明できるか
・別の方法で証明できるか

といった問題を検討します。

既に用意された解答を覚えるのではなく、教科書に書かれた命題を出発点として、自分で新しい問いを立て、数学的に考える力を養います。

扱う内容の例

線形代数

・ベクトルと行列
・連立一次方程式
・一次結合
・ベクトル空間
・部分空間
・一次独立
・基底と次元
・線形写像
・核と像
・行列式
・固有値と固有ベクトル
・対角化
・内積と直交

高校数学で学ぶベクトルや連立方程式から始め、大学数学で用いられる抽象的な考え方へ進みます。

微分積分

・数列と関数の極限
・極限の厳密な定義
・連続性
・微分可能性
・平均値の定理
・Taylorの定理
・積分
・数列と級数
・多変数関数
・偏微分
・重積分

高校数学で学ぶ極限、微分、積分を出発点として、なぜ定理が成り立つのか、どのような条件が必要なのかを考えます。

受講者の興味や理解度に応じて、線形代数または微分積分のどちらか一方を中心に進めることもできます。

毎回の授業の流れ

1．次回扱う教科書の範囲を決める
2．受講者が事前に教科書を読み、説明用ノートを作る
3．授業内で受講者がノートをもとに内容を説明する
4．講師が不足している説明や論理の飛躍を指摘する
5．定義・証明・具体例について質疑応答を行う
6．必要に応じて命題の拡張や関連問題を一緒に考える
7．次回までに修正する内容と、新しく読む範囲を確認する

授業中に説明できなかった部分は、講師が質問やヒントを出しながら一緒に整理します。

最初から完璧な説明をする必要はありません。

どこまで理解でき、どこから分からなくなったのかを自分で把握することも、数学を学ぶ上で大切な力です。

事前準備について

このコースでは、原則として毎回、授業前の予習と説明用ノートの作成が必要です。

必要な準備時間は、使用する教科書の難易度や受講者の経験によって異なります。

学校の勉強や大学受験との両立も考え、最初は無理のない短い範囲から始めます。

数学書を読むことに慣れていない方には、

・どこまで詳しく書けばよいか
・省略された計算をどのように補えばよいか
・定義や定理をどのように整理すればよいか
・分からない箇所をどのように記録すればよいか
・発表用ノートをどのように構成すればよいか

についても具体的に説明します。

分からない箇所が残っていても問題ありません。

分からない部分を隠すのではなく、「この式までは理解できたが、次の変形が分からない」と明確にして授業に持ってくることも、大切な準備の一つです。

この形式で身につく力

・大学数学の教科書を自力で読む力
・省略された計算や証明を補う力
・定義や定理を正確に使う力
・数学的な内容を他者に説明する力
・論理的に整理されたノートを作る力
・命題を一般化したり、反例を考えたりする力
・既知の結果から新しい問題を発見する力
・分からない箇所を自分で発見し、質問する力

これらは、大学入学後の講義、演習、数学科のゼミだけでなく、大学入試の証明問題や記述式答案を考える上でも役立ちます。

このコースに向いている方

・高校数学の内容をある程度理解している方
・数学そのものを深く学ぶことが好きな方
・大学数学を早く学ぶことより、丁寧に理解することを重視したい方
・毎回事前に教科書を読み、ノートを準備できる方
・数学科、物理学科、情報系、工学系などへの進学を考えている方
・将来、数学科のゼミや研究に挑戦してみたい方

このコースは、講師の説明を聞くだけで学習を完結させたい方よりも、自分で考え、準備し、説明することに挑戦したい方に適しています。

教材について

使用する教科書は、受講者の現在の学力、興味、学習目的を確認した上で決定します。

講師が作成したPDF教材や、オンラインで利用できる公開教材を使うこともできます。そのため、受講開始前に高額な参考書を何冊も購入する必要はありません。

既に読みたい教科書がある場合は、その教科書を使用できるか事前に相談できます。

イギリス在住の講師が入手しにくい日本の教科書を使用する場合も、教科書名、目次、扱う範囲などを確認しながら進め方を相談します。

無料体験授業について

無料体験では、現在の高校数学の学習状況や、大学数学を学びたい理由を確認します。

その後、線形代数または微分積分の短い教材を使い、

・定義を自分の言葉で説明する
・省略された計算を補う
・簡単な命題を証明する
・具体例や反例を考える

といった数学科式ゼミの一部を体験していただきます。

初めから上手に説明したり、完全な証明を書いたりする必要はありません。

体験授業を通して、現在の理解度と興味に合った教材、進度、予習量をご提案します。