2次関数のグラフがX軸と異なる2点で交わる…etc

Y=X^2+3aX-5+a のグラフがX軸と異なる2点で交わるときのa？

このような問題のとき、皆さんはどうしますか？

「まず判別式！」って思っていませんか？

それもまぁ、無理のないことです。

多くの問題集や模試の解答は、そのようになっているからです。

しかし私は「判別式」を使うべきではないと思っています

その理由は以下になります。

1.書くべき記述を書かないor間違える

この例は以下の2つになります。

1-1.「いきなり「D=～」と書く人が多い

問題文にない文字を使うときは自分で定義せねばなりません。

いきなり「D=～」と書くのはご法度です。

1-2.「この関数の判別式をDとして～」

判別式は、あくまでも「2次方程式」のものです。

「2次関数」には「判別式」など存在しません。

だから「与式の判別式をDとして～」も、間違いです。

「右辺＝０の判別式をDとして～」と書くべきです。

同様に「2次不等式」にも「判別式」など存在しませんので要注意。

2.そもそも判別式の前に端点を考えるべき

そもそも判別式を使わずに解けるときもあるのですよ。

Y=X^2+3aX-5+a のグラフがX軸の正と負の異なる2点で交わるときのa？

このような問題であれば、判別式は不要です。

X=0を代入したときのYの値が負でありさえすれば良いのです。（下に凸だから）

こういうときに判別式を用いるのは「無駄」でしかありません。

判別式は儀式でもなんでもなく、必要なときに用いるようにすべきなのです。

関数のグラフなのだから、関数のグラフで考える！

a=0のとき、Y=aX^2+bX+cを平方完成します。

Y=a(X+b/2a)^2-D/4a

となり、頂点のY座標は-D/4aですね。

グラフが上に凸か下に凸かを考え、そして頂点のY座標で考えるのです。

Y=X^2+3aX-5+a のグラフがX軸と異なる2点で交わるときのa？

このような問題であれば、

-D/4=-((3a)^2-4(-5+a))/4a<0

になるのです。

頻出問題を考えても、平方完成は必須！

「α≦X≦βに少なくとも1つの実数解」という頻出問題があります。

こういうとき「判別式 ⇒ 平方完成」というのは二度手間です。

上記のように平方完成のときに、すでに判別式は出来上がっているのですからね。

従って

1. 端点確認
2. 平方完成

が、オススメの解法なのです。