旅人算の比がわからない親子へ｜同じなのは時間か距離か

旅人算の比がわからない。式は立てられるのに、正比なのか逆比なのかで毎回手が止まる。この迷いの正体は、頭の良し悪しではありません。「いま同じなのは、時間か、距離か」という一つの問いを飛ばしているだけです。

旅人算で比が使えなくなる本当の理由

予習シリーズの5年後期あたりから、旅人算は「速さの比」を前提に進みます。ところが授業では、同時に出発したら時間は1対1、とあっさり流されがちです。ここで置いていかれると、比の問題が全部「勘」になります。

先日も、速さの比の問題を連続で正解していた小学生の生徒が、学校と駅の問題で急に失速しました。原因は計算力ではなく、ついた時という言葉を見て「距離が同じ」と思い込んだことでした。ついた時は、時間が同じです。この一語の取り違えで、答えは丸ごとひっくり返ります。

マンスリーや育成テストの前に直すべきは、計算練習ではありません。判断の順番です。

判断の軸は、実は二つしかない

一つ目。同じ時間なら、距離の比がそのまま速さの比になります（正比）。

兄と弟の速さの比が3対2で、100m離れた2地点から同時に向かい合って歩き、出会うとします。出会うまでの時間は2人とも同じなので、歩いた距離の比も3対2。全体を5とみなすと、兄が歩いた距離は 100 × 3/5 ＝ 60m です。

二つ目。同じ距離なら、速さの比と時間の比は逆になります（逆比）。

行きは時速4km、帰りは行きの7/8倍の速さで往復したら、合計で7時間30分かかった。片道は何kmか。速さの比は 8対7、距離は同じなので時間の比は 7対8。合計7.5時間を15等分すると、行きは 7.5 × 7/15 ＝ 3.5時間。片道は 4 × 3.5 ＝ 14km です。検算すると、帰りは時速3.5kmで 14 ÷ 3.5 ＝ 4時間、3.5 ＋ 4 ＝ 7.5時間で一致します。

迷ったら、問題文に戻って「同じなのは時間か、距離か」を先に決める。式はその後です。

出会いは和、追いかけは差

もう一つ、混ぜると事故が起きるのがこの区別です。

出会い算は速さの和で距離を割ります。たとえばAさんとBさんの速さの比が5対4で、Aさんが1人でBさんの家まで歩くと36分かかる。距離は 5 × 36 ＝ 180（丸）。2人が向かい合って歩けば、速さの和は 5 ＋ 4 ＝ 9 なので、180 ÷ 9 ＝ 20分後に出会います。

追いかけ算は速さの差で、先に出発した分の距離を割ります。弟が12分先に出発し、弟と兄の速さの比が1対4。弟の速さを1とすると、12分で差は12。兄が縮める差は 4 － 1 ＝ 3 なので、12 ÷ 3 ＝ 4分後に追いつきます。

出会いなら和、追いかけなら差。この対応だけを先に口で言えるようにしておくと、図を描く手が止まりません。

出会った後は、逆比の出番

もう一段上の型です。Cさんは1人でDさんの家まで歩くと24分かかります。2人が同時に向かい合って歩くと14分後に出会う。2人の速さの比は？

出会った後、Cさんは残りを 24 － 14 ＝ 10分で歩きます。その残りは、Dさんが14分かけて歩いた道のりと同じ距離です。同じ距離で、Cさんは10分、Dさんは14分。時間の比が 10対14 なので、速さの比は逆の 14対10、約分して 7対5 です。

出会う前は時間が同じ、出会った後は距離が同じ。軸が切り替わる場面を、自分の言葉で説明できれば、その単元は卒業です。

明日から使う3つの手順

• 速さの比に丸、距離や時間に別の印を決め、図の上で印をそろえる。

• 計算の前に「同じなのは時間か距離か」を声に出して言う。

• 小数や割り算が混ざったら、早めに分数へ直す。18 × 7.5 対 9 × 12.5 のような形も、約分すれば 150対125、つまり 6対5 に落ち着きます。

綺麗にノートを取りながら、毎回ゼロから考え直す親子は、残念ながら良質な養分です。今日からやめるべきは、問題数を増やすことではなく、判断の順番を飛ばす癖です。

結論と、次の一手

旅人算の比は、時間が同じなら正比、距離が同じなら逆比。この二択を、式より先に決めること。それだけで、偏差値の壁の手前で止まっていた問題が動き始めます。

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明日から親がすべき非情な決断は一つ。解き直しの前に、「同じなのは何？」と聞く習慣をつけてください。答えを教えるのは、その後で十分です。