回転体の体積を間違える6年生へ｜3.14は最後に1回だけ

回転体の体積を間違える原因は、計算力ではありません。手順の順番です。各段の体積は合っているのに、合計だけがずれる。小6の秋に、こういうお子さんは本当に多いです。

僕は普段、過去問で算数を落とす生徒の答案を眺めているのですが、回転体で点を落とす子には共通点があります。3.14を、途中で何回もかけているのです。

回転体の体積で差がつくのは、図形の理解ではなく計算の設計

回転体は、立体図形の中でも出題頻度が高い単元です。予習シリーズの6年でも、入試の過去問でも、段々になった図形を回転させて体積を求める形は定番です。

ところが、解ける子と落とす子の差は、図形が見えているかどうかだけでは決まりません。むしろ、見えているのに落とす子が目立ちます。

典型は次のパターンです。

• 黒く塗られた部分だけをいきなり求めようとして、手が止まる

• 白い部分（くぼみ）まで別に求めようとして、話が複雑になる

• 円柱ごとに半径×半径×3.14×高さを計算し、3.14の掛け算を3回、4回と繰り返す

3つ目が厄介です。小数の掛け算を何度もやれば、どこかで1回は崩れます。しかも崩れたことに気づきにくい。各段の値は合っているのに、足した合計だけが違う。これは頭の良し悪しではなく、設計ミスです。

手順1：まず左右対称の図を描いて、円柱に分ける

回転体の図は、半分しか描かれていません。ここで半分のまま考え始めるのが、つまずきの入口です。

まず回転軸をはさんで、反対側にも同じ図形を描きます。左右対称の図にするわけです。すると、段々の立体が見えてきます。

次に、その立体が何個の円柱に分かれるのか、数えます。それぞれの円柱の半径と高さを、図の横に書き出します。この作業を飛ばして暗算で突っ込む子ほど、数え間違いをします。

手順2：体積は上下に動かしてよい（ただし表面積は別）

ここが回転体の最大の武器です。体積は、パーツを上下に動かしても変わりません。

たとえば、半径3cmの円柱が、高さ2cm、1cm、2cmと離れて3つあったとします。これを重ねて、高さ5cmの1本の円柱として扱ってよいのです。

3 × 3 × 5 × 3.14 ＝ 45 × 3.14 ＝ 141.3

同じ半径のパーツは、まとめて高さを足す。これだけで、計算の回数が減ります。

注意点は1つ。この「動かしてよい」は体積だけの話です。表面積は、動かすと接する面が変わるので、同じ手は使えません。ここを混ぜる子がいるので、僕は必ず分けて教えます。

手順3：3.14は最後に1回だけかける

本題です。円周率の3.14は、最後に1回だけかけます。

各円柱の体積は、半径×半径×高さまでで止めておきます。それを全部足してから、最後に3.14をかける。

例題で確かめましょう。半径4cm・高さ2cmの円柱、半径3cm・高さ2cmの円柱、半径2cm・高さ2cmの円柱を、同じ軸で積み重ねた立体の体積です。

4 × 4 × 2 ＝ 32
3 × 3 × 2 ＝ 18
2 × 2 × 2 ＝ 8
32 ＋ 18 ＋ 8 ＝ 58
58 × 3.14 ＝ 182.12

3.14をかける回数は1回です。もし各段に3.14をかけると、100.48、56.52、25.12を足すことになります。答えは同じ182.12ですが、小数の筆算が3回に増えます。入試本番の限られた時間で、どちらが事故を起こしにくいかは、言うまでもありません。

これは数学的には、3.14 × 32 ＋ 3.14 × 18 ＋ 3.14 × 8 ＝ 3.14 × （32 ＋ 18 ＋ 8）という、結合法則の応用です。難しいことはしていません。やっていることは「面倒な作業を最後にまとめる」だけです。

回転体は、捨て問ではなく取る問題

最後に1つ、判断の話をします。

回転体は、解き方が分からない問題ではありません。型が決まっている問題です。左右対称の図を描く、円柱に分ける、同じ半径は高さを足す、3.14は最後に1回。この4手順で、多くの問題が同じように解けます。

だから、捨て問にしてはいけません。大問の前半に出る小問であれば、なおさらです。「どうせ計算が面倒だから」と飛ばす親子は、合格最低点争いの場面で、静かに損をします。

もう1つ付け加えると、ニュートン算のように「名前も解き方も思い出せない」単元と違い、回転体は手順を覚えれば確実に取れる領域です。取れる問題を取る。それが得点設計の基本です。

明日から親がすべき、ささやかで非情な決断

明日、お子さんの回転体の直しノートを開いてみてください。3.14が途中で何回登場しているか、数えるだけで構いません。2回以上あれば、そこが今日の修正点です。

答えが合っているかより、3.14をかけた回数を見る。これが、親が横から言える唯一の有益な一言です。それ以外の応援は、残念ながら養分になります。

回転体の体積は、計算の順番を変えるだけで安定します。立体図形で点を落としている6年生には、手順の固定が最短ルートです。

予習シリーズに沿って、過去問や立体図形を手順化したい方は、マナリンクのプロフィールにある「中学受験プロによる予習シリーズ専門の算数サポート」をご覧ください。無料相談・無料体験も受け付けています。