積と和が3の倍数となるカードの確率

確率問題 慶應義塾大学 数学過去問

1から10までの番号が書かれた10枚のカードがある。ここから3枚を選ぶとする。

(1)積が3の倍数になる確率を求めよ。

(2)和が3の倍数になる確率を求めよ。

さぁ「はじめの一歩」はどうしますか？

はじめの一歩：樹形図

「場合の数」「確率」の「はじめの一歩」は、ともかく「樹形図」です。

今回の場合、まずは3が入る樹形図から…

３－１－２

３－１－４

３－１－５

３－１－６

３－１－７

３－１－８

３－１－９

３－１－10

まだ終わらないねぇ

３－２－◯

３－２－◯

……

３－４－◯

３－４－◯　　　

次に6が入る樹形図は…

６－１－２

６－１－４

６－１……

このあたりで「大変だこりゃ」と気づいて欲しいんですね。

ただ単に並べていくだけでは危険ですし、時間もかかる。

そこで次に「考えて樹形図を作る」わけです。

３の倍数が3個のとき、２個のとき、1個のとき

こんなふうに考えてみます。

1. ３の倍数が3個のとき⇒ 3,6,9の1通り
2. ３の倍数が２個のとき⇒ 3,６,9の中から2個を選ぶ3通り×3,６,9の3個を除く7個から1個を選ぶ7通り＝21通り
3. ３の倍数が1個のとき⇒ 3,６,9の中から1個を選ぶ3通り×3,６,9の3個を除く7個から2個を選ぶ21通り＝63通り

以上より、1+21+63=85通り

全事象は10Ｃ3＝120通りだから

85/120＝17/24

余事象を用いた別解

3,６,9の3個を除く7個から3個選ぶのは、7Ｃ3

全事象は10Ｃ3

よって求める確率は

1-7Ｃ3／10Ｃ3＝17/24

…とまぁ、これが最も簡単な求め方、なんですね。

最初の樹形図の「実験」が大事

最初に樹形図を書いてみる…これが最重要です。

そこから論理の対等性・規則性等々を見つけ出すのですね。

数学でも、とくに確率だは「やってみる」ということが最も重要になるのです。

3つの数の和が3の倍数とは？

これも当初は樹形図を書いてみるんです。

するととてつもない作業になる予感がします。

そこで、樹形図無しで考えるのはどうしたら良いのか？

A:出てきた数が 3,6,9

これ、文句なしの「和が3の倍数」ですね。

そこでふと考える…3で割って余りがゼロですね。

つまり「余り」を3回足してもゼロのまま。

これ、1通りですよね。

B:出てきた数が 2,5,8

今回も「和が3の倍数」になります。

「余りが2」だから、その余りが3つ足されて「6」になる。

だからこれも3の倍数。

これも1通りになりますね。

C:出てきた数が 1,4,7,10 から3枚

今回も「和が3の倍数」になります。

「余りが１」だから、その余りが3つ足されて「3」になる。

だからこれも3の倍数。

これは4Ｃ3だから4通りになりますね。

D:A,B,C グループから1枚ずつ

「余りが0」「余りが2」「余りが1」それらを足すと「6」になる。

従って「3の倍数」になりますね。

その場合の数は「3✕3✕4」＝36通りです。

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以上A～Dより1+1+4+36=42通り。

全事象は10Ｃ3＝120通りだから

42/120＝7/20

こんな感じになります。