「マイナス×マイナス＝プラス」を考える

マイナスにマイナスをかけるとプラスになる。

中学数学で学ぶことだがつまづく生徒は少なくない。

マイナスにマイナスをかけるということが身近な出来事に結びつきづらいというのも一因かもしれない。

世の中には色々と説明の仕方があるかと思うが、ここでは私なりの一つの考え方を書き連ねてみようと思う。

ただその前にいくつか段階を踏ませてほしい。

まずはかけ算そのものについて少し考えてみる。

いきなりだが2＋2＋2+2はいくつだろうか？

順番に足していけば8である。

では3＋3＋3＋3＋3＋3＋3＋3はいくつだろうか？これも順番に足していけば24である。

上のような個数ならまだしも、例えば5を100回足したらいくつになるか、というのをひたすら足し算で求めるのは中々しんどいものがある。

そこでかけ算の出番である。5を100回足すというのは5が100個あると考えれば良いので5×100＝500とすぐに答えを出せる。

このようにかけ算は同じものを複数回足す操作を簡単にしてくれていると言える。

2×4は「2を4回足す操作」をしていると考えることが出来る。

※「4を2回足す操作」と考えることも出来るがここではひとまず○×△を「○を△回足す操作」として捉える

この考え方に従うと(-2)×4は「-2を4回足す操作」を表していると考えることが出来る。

つまり(-2)＋(-2)＋(-2)＋(-2)ということであり、答えは-8となる。

さて、それでは2×(-4)を考えてみる。これは「2を(-4)回足す」という事になるが、この(-4)回足す、という操作は身近な操作とは言い難い。これが何なのかを考えてみようと思う。

この事について考えるにあたって大事なことはプラスとマイナスの関係である。

プラスとマイナスというのはそれぞれが「逆・反対」の関係を表していると考えてみる。

何か「プラスの操作」があるとすれば、「マイナスの操作」というのは「プラスの操作」の「逆・反対」としてみる。

例えば「前に進む」がプラスの操作ならばマイナスの操作は「後ろに進む」である。

「上がる」がプラスならばマイナスは「下がる」である。

これを数式と見比べながら考えてみる。

5-3というのを「5歩進んで3歩戻る」と考えることも出来るし「5個貰って3個あげる」と考えることも出来る。

身近な例で考えるとプラスとマイナスはそれぞれ反対の意味を持っていることが実感しやすいかもしれない。

さて、ここで先程の(-4回)足すという操作に戻ってみる。マイナスはプラスとは反対の操作を表すと捉えることが出来る。とするならば、(-4回)足すというのは+4回引くというように捉え直すことも出来るはずである。

2×(-4)というのは「2を4回引く」という操作を表していると考えれば-2-2-2-2という計算を表すものであり、答えは-8となる。

いよいよマイナス×マイナスを考えてみようと思う。

(-2)×(-4)というのは「(-2)を(-4)回足す」という操作であり、これは「(-2)を4回引く」と捉え直すことが出来た。式にしてみれば

-(-2)-(-2)-(-2)-(-2)＝2＋2＋2＋2＝8

となり、答えは8というプラスの答えを得ることが出来た。

マイナス×マイナスというのは「あるマイナスの数をある回数だけ引く操作」であり、その操作で得られる値は結局プラスになる、と考えることが出来る。

この考え方をもう少しだけ推し進めるために「マイナスの数を引く」ことにも目を向けてみたい。

考えてみれば「マイナスの数を引く」というのも何となく分かりはするものの実感としては湧きづらい。

これに関して「引く」、つまり「引き算」というものを見つめ直してみようと思う。

5-3というのは引き算として見れば(+5)-(+3)であり、5+(-3)のように足し算にして考えることも出来る。この時(+3)と(-3)という数の関係を眺めてみると「符号が反対」になっている。

上で考えたようにプラスとマイナスは反対の操作を表している。これは引き算を足し算にする場合においては「ある数を引く」→「符号を反対にした数を足す」というように考えることが出来る。

具体的な数字で言えば+2を引くというのは-2を足すと考えることが出来るし、-5を引くというのは+5を足すと考えることが出来る。

数を増やして考えてみよう。

+2+2+2は「+2を3回足す操作」であり、引き算で考えると-(-2)-(-2)-(-2)となり「-2を3回引く操作」となる。

一般化すると「aをb回足す」というのは「(-a)をb回引く」と言い換えられる。逆に言えば「(-a)をb回引く」というのは「aをb回足す」ことになり、マイナス× マイナスというのは最終的にはプラスの数の足し算となるので答えはプラスになる、と言える。

ここまで長くなってしまったが、マイナス×マイナス＝プラスについて考えてきたことを改めてまとめてみると以下のようになる。

①「a×b」は「aをb回足す操作」として捉えられる。

②「a×(-b)」は「aを(-b)回足す操作」であり、言い換えれば「aをb回引く操作」である。

③引き算は「符号を反対にした数を足す操作」と言い換えられる。

「(-a)×(-b)」は「(-a)をb回引く操作」であり、これを「aをb回足す操作」と言い換えることが出来る。

④マイナス× マイナスは「プラスの数の足し算」に置き換わるので結局答えはプラスになる