立体の切断で体積を間違える子へ｜引き算をやめる

立体の切断で体積を間違える子の多くは、計算力が足りないのではありません。やり方が重すぎるのです。大きい立体から小さい立体を引く。この「引き算の途中計算」が、ミスの発生源になっています。

先日の授業でも同じ場面がありました。切り方も補助線も合っているのに、最後の体積で答えが合わない。原因は途中の数字の取り違えで、立体の理解ではありませんでした。立体の切断は、道具を3つ持たせれば、ミスの量そのものを減らせる単元です。

立体の切断で点を落とす子は、何で落としているのか

落とし方は大きく3つに分かれます。

• 切る場所を間違える（頂点から頂点へ結ぶべき線を、別の点に引いてしまう）

• 体積を普通に出そうとして、途中の計算が重くなり、ミスが出る

• 問題文を読み違える（求めるのは小さい方なのに、大きい方を出す）

予習シリーズの立体の切断でも、入試問題でも、前半の誘導問題ほど取りたい配点です。ここで落とすと、後半の難問に挑む前に勝負が決まります。逆に言えば、この3つを外側から封じれば、点は安定します。ゲームの発想で言えば、相手の強さに合わせて頭を鍛えるより、自分の手数を減らす方が早いのです。

道具その1　体積比で「引き算」を「割り算」に変える

四角錐を、底面と平行に切る問題で考えます。底面が一辺6cmの正方形、高さが12cmの四角錐です。高さの半分、6cmのところで水平に切ります。

全体の体積は 6 × 6 × 12 ÷ 3 ＝ 144 です。

ここで、切り落とした上の小さい四角錐は、全体と相似で、相似比は1対2です。体積比は 1対8 になります（2を3回かけて8）。

つまり、小さい方は 144 ÷ 8 ＝ 18。残りの下の部分は、体積比の 8 − 1 ＝ 7 にあたるので 18 × 7 ＝ 126 です。

小さい立体の体積を出し、あとは比で処理する。大きい立体の底面積と高さをもう一度かけ直す必要はありません。計算の回数が減れば、ミスの回数も減ります。計算の時間も短くなります。

道具その2　斜めに切った柱は「底面積 × 平均の高さ」をワンセットで

直方体や角柱を斜めに切ると、上が斜めになった形が残ります。この体積は、底面積 × 平均の高さ です。

たとえば、底面が縦3cm、横4cmの長方形で、4つの角の高さが 6cm、4cm、4cm、2cm の場合を考えます。

平均の高さは (6 + 4 + 4 + 2) ÷ 4 ＝ 4cm。

体積は 3 × 4 × 4 ＝ 48 です。

この公式は、形が見えた瞬間に口から出るようにしておく。入試では「この形は何の仲間か」を見抜く時間が勝負を分けます。

道具その3　線引きと「どちらを求めるか」の確認

ここがいちばん地味で、いちばん効きます。問題文の大事なところに線を引く。ただし全部には引かない。全部に引くと、結局どこが大事か分からなくなります。長さの数字と、「何を求めるか」の部分だけで十分です。最初は適当でも、数をこなすうちに的確になっていきます。

四角錐を切る問題では、赤い方と青い方、どちらの体積を聞かれているかを必ず確認します。上の例なら、答えは 18 なのか 126 なのか。全体が144なのに、答えに144より大きい数を書いていたら、それは間違いです。答えを書く前に、全体と比べて自然な大きさかを見る。この一呼吸が、誘導問題を落とさないための保険になります。

四角錐の切断は「半分に割る」が前提知識

四角錐を斜めに切る問題では、まず底面の正方形を対角線で半分に割り、三角錐2つとして考えます。三角錐なら、辺の比を使って体積比を求める公式が使えます。四角錐のままでは使えない便利な公式を、半分に割ることで使える形にするわけです。「半分に割る」と「公式を使う」はセットで覚えます。

最後に　スピードは別枠で鍛える

切断の問題とは別に、1問1分のペースで計算問題を解く練習を挟むと効果的です。計算と小問を1分前後で解く練習を続けると、頭の回転が上がり、切断問題の途中計算も軽くなります。

明日から親御さんにお願いしたいのは、次の一つだけです。お子さんが立体の切断を間違えたら、答えを教える前に「求めるのは大きい方？小さい方？」と聞いてください。そこで答えられれば、立体の理解ではなく、読み方の問題です。読み方の問題なら、線引きという外側の仕組みで直せます。

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そもそも、頑張って引き算を続ける親子は、いつまでも良質な養分のままです。引き算は、比に任せてしまいましょう。