回転体の体積で間違える子は、図を書いていない

回転体の体積で間違える原因は、公式を知らないことではなく、図を書いていないことです。「体積は底面積×高さだから、図はなくても解ける」。そう判断して頭の中だけで済ませるお子さんほど、中学受験の算数で取れるはずの点を静かに落としています。

僕が見ているある小6の生徒は、直近の模試で、後半の難問には時間を使ったのに、回転体の基本問題を図なしで落としました。解けない問題には粘り、解ける問題は雑に扱う。得点設計の観点では、最も割に合わない負け方です。

回転体の体積で図を省くと、点が消える三つの理由

図を省いたとき、頭の中では次の三つが同時に起きています。

• 軸の位置を取り違える。直角をはさむ辺のどちらを軸にするかで、半径と高さが入れ替わり、体積がまったく変わります。

• 半径にあたる長さが見えなくなる。回転させた立体の半径が元の図形のどこの長さなのかを、頭の中だけで追うことになります。

• 前の小問とのつながりに気づけない。同じ三角形を回しているのだから前の答えが使えるはず、という発想が出てきません。

偏差値50台から60の壁を越えるとき、差がつくのは難問の正答率ではありません。正答率が半分以上ある問題を落とさないことです。図を書く数十秒を惜しんで数点を捨てるのは、節約としては最悪の部類だと僕は思っています。

回転体の体積は、左右対称の図を書けば半分終わる

回転体の図は、美しく描く必要はありません。やることは三つだけです。軸を先に縦に引く。軸をはさんで左右対称に、丸みをつけた外形を描く。与えられた長さをすべて書き込む。これで、半径と高さが元の図形のどこの長さなのかが目で見えるようになります。

僕が作った類題で確認しましょう。直角三角形ABCがあり、直角の頂点はBです。ABは12cm、BCは6cmです。ABを軸に1回転させてできる立体の体積を求めます。円周率は3.14とします。

軸ABを縦に引いて左右対称に描くと、底面の半径がBCの6cm、高さがABの12cmの円すいだと一目で分かります。体積は、6 × 6 × 3.14 × 12 ÷ 3 ＝ 452.16 で、452.16立方センチメートルです。

図を書かずに底面積×高さの感覚で突っ込むと、÷3を忘れる、半径に12を入れてしまう、といった事故が起きます。円すいの体積は、底面積×高さ÷3です。

重なった円すいは、相似比から体積比で一気に出す

もう一歩進めます。ABの真ん中をD、ACの真ん中をEとして、三角形ADEを切り取り、台形DBCEを残します。この台形DBCEを、ABを軸に1回転させてできる立体の体積を求めます。

ここで図を書くと、台形を回した立体は「大きい円すいから小さい円すいを引いたもの」だと見えてきます。大きい円すいは、先ほどの452.16立方センチメートルです。小さい円すいは、ADが6cm、DEが3cmなので、半径3cm、高さ6cmです。相似比は1対2ですから、体積比は1対8になります。大きい円すいを8、小さい円すいを1と置くと、台形を回した立体は7です。

式にすると、452.16 ÷ 8 × 7 ＝ 395.64 で、395.64立方センチメートルです。小さい円すいを実際に計算して、3 × 3 × 3.14 × 6 ÷ 3 ＝ 56.52、452.16 − 56.52 ＝ 395.64 と検算もできます。

この問題で多くの子がつまずくのは、台形の高さの6cmを使ってしまうことです。引き算で出す立体は、大小それぞれの円すいの高さ全体を使います。図に大小の円すいを重ねて描いておけば、この間違いは起きにくくなります。

立体の切断も、真上から見た図を一枚足すだけ

立体の切断でも考え方は同じです。切り落とされた部分の体積を出したいとき、真上から見た図を別に書くと、切り落とされた三角すいの底面が三角形として見えてきます。底面積を出すには高さが要りますが、線の交わり方がバッテンの形になっているなら、相似で高さを出せます。図を一枚足すだけで、「分からない」が「出せそう」に変わります。

2回切る問題では、切り口の線が交わる点を結ぶことが大切です。これも頭の中ではなく、図の上で確認します。

図を書く習慣は、才能ではなく手順で作る

最低ラインは次の三つです。

• 軸を先に引き、左右対称に外形を描く

• 与えられた長さと、求めた長さをその場で書き込む

• 引き算で出す立体は、引く部分に色をつける

「できたからいい」「書かなくても解ける」と言う子ほど、書かずに安定して解けているわけではない、というのが僕の見立てです。書かないで正解できる子は、とっくに書かなくても取れています。取れていないなら、変えるのはやり方のほうです。

図を書かない自由は、点数を差し出す自由と同じです。明日から親がすべき非情な決断は一つ。「書かなくていい」という判断を、お子さんの手から取り上げることです。

回転体の図を書く習慣は、気合ではなく手順で作れます。予習シリーズの立体図形（回転体・切断）を、図の書き方から一緒に組み直したい方は、僕のマナリンクのプロフィールにある「中学受験プロによる予習シリーズ専門の算数サポート」をご覧ください。無料相談・無料体験の枠もあります。