数学は「解き方の見つけ方」が大切！応用問題に強くなる勉強法

数学の基本問題は解けるのに、少し応用になると急に手が止まってしまう。

先生の解説を聞けば、

「なるほど！そうやって解くのか！」

と理解できるのに、自分一人では解き方を思いつかない。

このような生徒さんは少なくありません。

もちろん、公式や基本的な解法を覚えることは大切です。しかし、応用問題ではそれだけでは十分ではありません。

必要なのは、「その問題では何を使えばよいのか」「そもそも、その解法をどうやって思いつくのか」を自分で考える力です。

今回は、私が普段の数学指導でも大切にしている「解き方の見つけ方」についてお伝えします。

1．「解説を聞けば分かるのに、自分では解けない」のはなぜ？

数学の模範解答を見ると、式や計算がきれいな順序で並んでいます。

そのため、解説を聞けば、

「なるほど。この方法で解けばいいのか」

と理解できることがあります。

しかし、自分で問題を解くときには、最初からその解法が分かっているわけではありません。

特に応用問題で難しいのは、

「最初に何をすればいいの？」

という部分です。

例えば図形問題の解答に補助線が1本引かれていたとします。

補助線を引いた後の解説を理解するだけでなく、

「そもそも、なぜそこに補助線を引こうと思いつくの？」

というところまで考えることが大切です。

完成した解法を覚えるだけでは、問題の形が変わったときに対応できないことがあります。

解法そのものだけでなく、「どう考えればその解法にたどり着けるのか」まで学ぶ。

これが応用問題に対応するための重要なポイントです。

2．応用問題では「解き方を見つける力」が必要

基本問題の練習では、使う知識が最初から分かっていることがあります。

例えば「三平方の定理」の練習ページなら、

「三平方の定理を使えばいい」

と予想できます。

しかし、定期テストや入試では、いろいろな単元の問題が混ざって出題されます。

問題文に、

「この公式を使いましょう」

「ここに補助線を引きましょう」

とは書かれていません。

そこで、

• 何が与えられているのか

• 何を求めるのか

• どの知識が使えそうなのか

• まず何を求めればよいのか

を自分で判断する必要があります。

公式や解法を知っていても、問題を見たときにそれを使うことに気づかなければ、答えにはたどり着けません。

つまり、

知識を覚える
↓
どんな場面で使えるのか理解する
↓
必要なときに取り出す
↓
組み合わせて使う

ところまでできて、初めて「使える知識」になっていきます。

3．解き方を見つける2つの考え方

では、問題を見ても解き方が思いつかないとき、どうすればよいのでしょうか？

私が指導でよく使っている考え方は、大きく2つあります。

① 与えられた情報から前へ進む

1つ目は、問題で与えられている情報から、今すぐ分かることを少しずつ増やしていく方法です。

例えば図形問題なら、

• 分かっている角度を図に書き込む

• 等しい辺や角に印をつける

• 平行・垂直などの条件を書き込む

• すぐに求められる長さや角度を計算する

といったことができます。

この時点で、最終的な解き方まで思いつく必要はありません。

まず、

「この情報から何か一つ分からないかな？」

と考えます。

例えば、

「この2本は平行だから、この角度が分かる」

↓

「2つの角が分かったから、三角形の残りの角も求められる」

というように、少しずつ分かることを増やしていきます。

最初は、それが最終的な答えにどうつながるのか分からなくても構いません。

与えられている情報から分かることを少しずつ図に書いたり、実際に計算したりしていくと、求めたいものとのつながりが見えてくることがあります。

「解き方が分からない」とすぐに止まるのではなく、まず一歩進んでみる。

これも解き方を見つけるための大切な方法です。

② 求めたいものから逆算する

もう1つは、反対に求めたいものから逆算する方法です。

例えば三角形の面積を求める問題なら、

「面積を求めるには何が必要？」

と考えます。

底辺と高さが必要なら、

「底辺は分かっている。では高さをどうやって求める？」

と考えます。

さらに、

「高さを求めるためには、この三角形に注目すればよさそう」

と、ゴールから少しずつさかのぼります。

つまり、

求めたいもの
↑
そのために必要なもの
↑
さらにそのために必要なもの

と考えていく方法です。

前と後ろの両方向から考えてみる

そして、この2つの方法は組み合わせることができます。

与えられた情報
↓
↓　分かることを増やす
↓
？？？
↑
↑　必要なものを逆算する
↑
求めたいもの

「与えられた情報から、ここまでは分かった」

一方で、

「答えを出すには、これが分かればいい」

と両方向から考えていく。

すると、

「あっ、ここでつながる！」

と解法の方針が見えてくることがあります。

最初から完成した解法を思いつこうとせず、前と後ろの両方向から少しずつ考え、その間をつなげていくという方法です。

4．「解き方」ではなく「考える順番」を身につける

大切なのは、その問題だけの解法を覚えることではありません。

例えば、

① 与えられた情報を整理する
↓
② そこから分かることを増やす
↓
③ 求めたいものを確認する
↓
④「そのためには何が必要？」と逆算する
↓
⑤ 前と後ろのつながりを探す
↓
⑥ 解法の方針を立てる

という**「考える順番」**を身につけることです。

問題の数字や図の形が変われば、具体的な解き方は変わります。

しかし、このような考え方は別の問題にも応用できます。

そのため、問題を解いた後にも、

• 最初に何に注目した？

• どの情報が解法を考えるきっかけになった？

• なぜその知識が使えそうだと思った？

• どうやって解法を思いついた？

と振り返ることが大切です。

「この問題の解き方は何だったか」だけでなく、「この問題から、どんな考え方を学べたか」を蓄積していく。

これが、初めて見る問題にも対応する力につながっていきます。

5．「自分で解き方を考えられる力」が本当の応用力につながる

応用問題を見た瞬間に、

「分からない」

「解き方を忘れた」

と手が止まってしまう生徒さんもいます。

しかし、完成した解法がすぐに思いつかなくても、できることはあります。

「まず、与えられている情報を整理してみよう」

「ここから何か一つ分からないかな？」

「答えを出すためには、何が分かればいいだろう？」

このように考える習慣が身につけば、「何から考えればいいか分からない」という状態から一歩前へ進めます。

私の授業でも、分からない問題があったときに、すぐに完成した解法をすべて教えるのではなく、

「何が分かっている？」

「そこから何が分かる？」

「求めたいものは何？」

「それを求めるには何が必要？」

と少しずつ質問しながら、生徒さん自身に考えてもらうことを大切にしています。

目指しているのは、

「先生に解き方を教えてもらったから解けた」

だけではありません。

「自分で考えて、解き方の方針を見つけられた」

という状態です。

私が中学数学の指導で大切にしている**「小島式 学びの実力化メソッド」**では、

「学びを深める」
↓
「復習する」
↓
「改善する」
↓
「真の実力へ」

という流れを重視しています。

その中の「学びを深める」とは、単に解法を理解することだけではありません。

「そもそも、その解法をどうやって思いつくのか」まで考えることも、大切な学びの一つです。

解法を覚えるだけではなく、解法を見つけるための「考え方」を身につける。

その積み重ねが、初めて見る問題にも自分で向き合える、本当の応用力につながっていきます。